بعض أنماط الفهم عند التلاميذ
لو حاولت أن أسأل عن الناتج النهائي الذي يتعلمه الطالب في الرياضيات لوضعته في مجالات مختلفة منها مثلا
مصطلحات ذات معنى رياضي محدد
فالرياضيات كأي علم آخر لها مصطلحاتها الخاصة التي تستعمل إستعمالا ذو مدلول خاص فمثلا (الدائرة) مصطلح يرد في مواقف مختلفة بمعاني مختلفة حسب الحديث , هناك دائرة انتخابية , دائرة إقتصادية….
ولكن في الرياضيات كلمة دائرة ذات معنى محدد ثابت لالبس فيه
ومن التلاميذ من يكون المعنى الصحيح ومنهم من يكون المعنى الخاطئ يستخدمه بديلا عن المعنى الصحيح
فقد سئل أكثر من 100 طالب أن يكتبوا معنى الدائرة (تعريف الدائرة)
فأعطوا إجابات مختلفة منها , شكل دائري , خط منحني , مجموعة من النقاط تقع على خط منحن مغلق
مجموعة من النفاط التي تبعد عن نقطة ثابتة بعدا ثابتا
واضح أن هناك معنى واحد واضح
طلب الى عدد من التلاميذ يزيدعن 100 طالب وفي نفس المستوى الدراسي أن يعطوا مثالا (لمقدار ذي حدين)
فأعطيت الى جانب الإجابة الصحيحة إجابات خاطئة منها
〈x+y〉〈h+z〉 , 3x+5y=7 , 74 , xy
وهذه أمثلة لاتبين أن هناك خطأ في مفهوم معنى المصطلح فحسب بل تكشف عن نوع هذا الفهم الخاطئ فمثلا 3x+5y=7 تدل على أن الطالب يفهم (المقدار ذي الحدين) على أنه متغيرين يربطهما علاقة معينة
حقائق ومهارات
في مادة الرياضيات يطلب من التلميذ أن يسترجع الحقائق والقوانين مثل خواص الأشكال الهندسية وقوانين المساحات و الحجوم وغير ذلك من الحقائق الثابتة كما يطلب منه أن يكون قادرا على إجراء العمليات الآلية يسرعة وإتقان ومن أمثلة ذلك القدرة على إجراء العمليات الأربعة بأعداد صحيحة وكسور عادبة وكسور عشرية
وكذلك حل المعادلات البسيطة والآنية .
والأساس السيكيولوجي هنا هو تكوبن إرتباط ثابت بين المثير والإستجابة فمثلا
ما إن يعرض على التلميذ المثلث abc المتساوي الساقين ab=ac حتى يسترجع ان الزاوية b=c دون الحاجة الى تفكير طويل
وكذلك إذا طلب منه جمع الكسرين3/4 + 5/6 حتى يتبع في هذا الموقف الخطوات المقننة الثابتة التي تكررت مرات كثيرة حتى لم يعد الأمر يحتاخ الى إعمال التفكير
إذا طلب منه أن يحل المعادلة 5(x-3)=3(x+1)+7 بادر إلى إتباع الخطوات الأتية في تسلسل ثابت يزيل الأقواس ينقل السينات في طرف (الأيمن عادة ) و الأعداد في طرف آخر يختصر يجد قيمة x
في كل هذا يتبع الطالب خطوات ثابتة مرن عليها مرانا طويلا حتى تحول الأمر إلى عادة يتبعها في مثل هذه المواقف
فعندما يجري الطالب عملية جمع 1/2+ 1/3= 3/6+ 2/6= 5/6 لا يوجد هنا ضمان على أنه يعرف الفكرة الرياضية في توحيد المقام فقد يكون قد قام بها بصورة آلبة إكتسبها كمهارة مرن عليها وقد يكون فاهما أنه إنما يحول الكسربن 1/2 , 1/3 الى نفس الوحدات بتحويلها الى أسداس
من كل هذه الأمثلة يتضح أن كثيرا من الأفكار الرياضية التي تنطوي عليها العمليات والمهارات الرياضية قد تكون غير واضحة في أذهان التلاميذ
من الأنماط المختلفة لاخطاء الفهم عند التلاميذ ونعني بالنمط الاتجاه في تفكير التلاميذ الذي يمكن ان نفسر به اخطاءهم في فهم مفاهيم مختلفة
الحفظ الالي للقوانين
السلبية في التفكير الرياضي
التركيز على اجراء العمليات
تداخل المعاني
التعميم عن حالات خاصه
المزج بين المعنى والنتائج المترتبه عليه
أولا: الحفظ الالي للقوانين
وفي ذلك لا يهتم التلميذ بان يصل الى الفكرة الرياضية التي يقوم عليها
مثلا: من التلاميذ لا يعرفون فكرة تقسيم المستطيل الى شرائط عرضها الوحدة والشريط الى مربعات مساحتها الوحدة المربعه بل لا يتعدى الامر عندهم ان مسافه المستطيل = الطول × العرض
مثلا: يفسرون ضرب طول قاعدة المثلث × طول ارتفاعه وقسمة الناتج على 2 بانه مساحه المثلث دون ان يعرفوا ان مساحة المثلث نصف مساحة المستطيل المشترك مع المثلث في القاعدة والارتفاع
من التلاميذ لا يعرفون لم تطرح الاسس عند قسمه x^5على x^3 بل ان الامر عندهم هو انه عند القسمه تطرح الاسس وهنا لابد لنا ان نسال انفسنا لم تضعف الفكرة الاساسية ويثبت التعبير اللفظي للقانون ؟ يبدو انه من اسباب ذلك ان المدرسين يعرضون الفكرة عند شرح القانون ونادرا مايعرضونها مرة اخرى بعكس الصورة اللفظية التي يصرون على ان يحفظها التلميذ وان يستظهرها هذا بالاضافة الى ان التطبيقات التي يحلها التلاميذ نادرا ما نحتاج الى معرفة الفكرة الاساسية ويكفي فيها معرفة القانون نفسه ولعله من الاسباب ايضا التي تعرف التلاميذ عن الاهتمام بالمفاهيم والافكار الرياضية ان الامتحانات قلما تتطلب فيها بل غالبا ما تتطلب حفظا
ثانيا: السلبية في التفكير الرياضي
وفي ذلك يتجه التلميذ نحو اتباع القاعدة دون مناقشة او رغبة في معرفة الفكره التي تقوم عليها القاعدة او القانون وفيما يلي نعرض الامثلة التي تبين هذا النمط الشائع بين الطلاب
مثال :من التلاميذ لا يعرفون لماذا نقسم اسس عوامل العدد على 2 عند ايجاد جذوره التربيعي بل ان الامر عندهم تلك هي القاعدة
مثال :من التلاميذ الذين يستطيعون اجراء العمليه 3/4÷8 اجراء صحيحا يقلبون المقسوم عليه لانه هذه هي القاعدة
مثال:من التلاميذ لا يعرفون لم يأخذون الاحداثيين السيني لتقاطع بيان الدالة y=x^2-5x-6
مع محور السينات حلا للمعادلة x^2-5x-6=0 بل انهم يفعلون ذلك اتباعا للقاعدة
واضح من الامثلة ان الطالب لا يريد ان يبذل جهدا في الوصول الى المعنى للعملية بل يتبع التعليمات ومن مشاهداتنا الخاصه في المدارس ان الطلاب والطالبات ينصرفون انصرافا يكاد يكون تاما عن شرح الافكار الرياضية وينتظرون متى يخلص الدرس الى القاعدة ويقلدون في تطبيقها ولسوء الحظ فاننا لا نسال التلاميذ عن أصل الحقائق بل نكتفي من التلميذ بتطبيقها
ثالثا: التركيز على اجراء العمليات :
في بعض الأسئلة التي حاولنا بها ان نقيس مدى فهم التلاميذ للمفاهيم الرياضية اعيطناهم مثالا كي يسهل عليهم التعبير فما كان من التلاميذ الا ان حلوا المثال وانصرفوا عن تحديد المعنى المطلوب
مثال:كي تعرف مدى فهم التلاميذ لمفهموم العامل المشترك الاعلى وجهنا لهم السؤال ما معنى العامل المشترك الأعلى للأعداد 8، 12 ،20 ؟ فما كان منهم الا ان حللوا الاعداد واوجدوا العامل المشترك الاعلى بينهم
مثال: كذلك كي تعرف مدى فهم التلاميذ لمفهوم عملية الضرب سالت كيف توجد ناتج 165 ×15 دون اجراء عملية الضرب فما كان من اطلاب الى ان اوجدوا الناتج باستخدام عملية الضرب رغم ان السؤال ينص على عدم اجراء العملية
مثال : كيف نجد ناتج 576 ÷ 24 اذا لم نكن نعرف القسمة لوحظ ان بعض الطلاب اجروا عملية القسمة واوجدوا الناتج
التفسير هنا لانصراف التلاميذ الى العمليه هو انه قد تكون عندهم اتجاه نحو اجراء العمليات فتركيبة الاعداد 8،12،20 تستدعي التحليل وكذلك تركيبة الاعداد 165 ×15 تستدعي الخطوات المعروفه في الضرب
رابعا:تداخل المعاني
ونعني بذلك ان ناخذ مفهوم المعنى الرياضي لمفهوم اخر فيصبح المفهوم الثاني بدلا للاول
مثال: من التلاميذ يطلقون لفظ الزاويتين المتتامتان على الزاويتين المتكاملتين
مثال :من التلاميذ يطلقون لفظ الزاويتين المتبادتين على الزاويتين المتقابلتين بالرأس
ولعل ذلك راجع الى ان بعض هذه الالفظا لا تكشف عن خصائص المفهوم نفسه فكان من الممكن مثلا ان يصطلح على المتتامتان اذا كان مجموع الزاويتين 180 والتكامل اذا كان 90 بدلا من الاصطلاح المتعارف عليه
خامسا : التعميم من الحالات الخاصة:
وتعني بذلك ان توقد الحالة الخاصة للدالة على المفهوم بوجه عام .
مثال: تساوي الزاويتين المتبادلتين اذا كان المستقيمين متوازيين ، نلاحظ أن الطلاب يعمم ذلك لو كان المستقيمان غير متوازيان
مثال: المثلث القائم أحد زواياه 30
والتفسير لهذا الاتجاه في التفكير هو تكرار التلميذ للحالة الخاصة مما يجعلها تطغى على الصفات العامة للمفهوم الرياضي
ففي المثال الأول
عادة نفرض الصور المختلفة للموضوع في بدايته وبعد ذلك يكاد يكون الأمر مقصورا على التبادل في حالة المستقيمان.
سادسا : المزج بين المعنى والنتائج المترتبة عليه :
أي إن النتائج التي ترتبت على الخصائص الأساسية لمفهوم رياضي تصبح هي نفسها من الخصائص الرياضية الأساسية التي بدونها لا يأخذ المفهوم معناه.
مثال : من التلاميذ يعرفون متوازي الأضلاع على أنه شكل رباعي يتوازى ويتساوى كل ضلعين متقابلين فيه.
وأيضا منهم من يعرفونه على انه شكل رباعي يتوازى ويتساوى كل ضلعين متقابلين فيه ، ويتساوى كل زاويتين متقابلتين وينصف قطراه كل منها الآخر.
واضح أن هؤلاء التلاميذ يمزجون بين الصفة الأساسية التي تجعل الشكل متوازيا للأضلاع الا وهي توازي كل ضلعين متقابلين فيه بالخواص التي ترتبت على هذه الصفة .
مثال: بعض التلاميذ يعرفون مماس الدائرة على أنه المستقيم الذي يقطع الدائرة في نقطتين منطبقتين ويكون عموديا على نصف القطر المار بنقطة التماس .
أي أنهم يمزجون بين الصفة الأساسية التي تجعل المماس مماسا بالخواص التي ترتبت على هذه الصفة .
وهنا تبرز مسؤولية المدرس إذا فلما نحاول أن نكشف للتلاميذ عن الفرق بين الفروض والصفات الأساسية للأشكال والخواص الهندسية التي نشتق هذه الفروض والصفات.
